Reducción de problemas de geometría

José Juan me ha pedido que rompa la coherencia de mi blog para hacer una entrada con instrucciones al uso, sin microrrelato ni nada. Ya que no me encuentro en disposición de ponerme tiquismiquis, aquí está. Él lo llamó "una pequeña concesión al profesor".

PROBLEMA FUNDAMENTAL DE TANGENCIAS

Consiste en trazar dos circunferencias que sean tangentes a dos rectas y que pasen por un punto dado.

Aquí tenemos las dos rectas y el punto:

Para empezar, hacemos la bisectriz de las dos rectas:

El siguiente paso consiste en calcular el eje radical (línea perpendicular a la de la bisectriz que acabamos de hacer, que, a su vez, pasará por el punto A y cortará las dos rectas iniciales):

El tercer paso es escoger un punto de la bisectriz, uno cualquiera. Se llamará O'. Desde ese punto y con radio hasta el punto A, trazaremos la circunferencia:

Para continuar, calculamos las rectas tangentes del centro radical a la circunferencia que hemos dibujado. Es decir, trazaremos una recta que una el punto CR (punto que hemos obtenido al trazar la perpendicular a la bisectriz y que corta con la recta de abajo) con O':

El quinto paso consistirá en calcular la mediatriz del último segmento dibujado. El punto que obtendremos lo llamaremos M:

El punto M es el centro de una circunferencia de arco capaz de 90º y con un diámetro CR-O':

La circunferencia que acabamos de crear corta a la primera que hicimos en dos puntos, que llamaremos T' y T''. La distancia del centro radical a T' y T'' será la misma que hay hasta los puntos de tangencia de de la solución que estamos buscando. Por lo tanto, con radio de CR a T' o T'', y con centro en el punto CR, trazamos una circunferencia. Los dos puntos que cortan a la recta r (T1 y T2) serán los puntos de tangencia de esas circunferencias definitivas:

El octavo paso consistirá en trazar dos rectas que pasen por los puntos T1 y T2, perpendiculares a la recta r. Los puntos que obtendremos (O1 y O2) son los centros de las circunferencias definitivas:

Para continuar, hallaremos los puntos de tangencia de la recta superior (una de las dos que nos venía dadas). Para ello, trazamos sendas rectas perpendiculares desde 01 y 02, dando así con los puntos T3 y T4:

Para terminar: Trazaremos una circunferencia con centro en O1 y radio T1 y T3 y otra con centro en O2 y radio T2 o T4.

Y ya estaría.

Ahora vendría la siguiente solución, ya que el problema consistía en resolver múltiples problemas con la misma solución.


¿Qué tenemos que hacer en esta ocasión? Hallar la circunferencia tangente a dos puntos y una circunferencia.

Primero trazaremos una circunferencia que pase por A y por B. Para ello, haremos una bisectriz y escogeremos un punto al azar en la recta obtenida (la que pasa por el punto medio entre A y B). Este punto se llamará L:

Utilizamos los dos nuevos puntos obtenidos para trazar otra recta que se prolongará y que cortará (punto M) con la recta que une A y B, ahora alargada:

Unimos M con L y hacemos un arco capaz. El punto en el que este arco corta a la circunferencia que hemos trazado anteriormente, será el punto tangente (T):

Con centro en M y radio hasta T, trazamos otro arco que cortará con la circunferencia que nos venía dada. Este punto es el punto de tangencia que estábamos buscando (T2):

Unimos M con T2 y hacemos una perpendicular a esa recta que pase por T2. El punto en el que esta nueva recta corta con la recta que trazamos anteriormente al hacer la bisectriz de A y B será el punto N:

Cogemos el radio de N a A (o a B, que es el mismo) y así obtendremos la circunferencia que estábamos buscando.
Y ya estaría.